area circulo

Área de un círculo
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El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia perimetral del círculo dado.

\ A = \pi \cdot r^2 \,

Siendo \ A \, el área, y \ r \, el radio del círculo.
Contenido
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* 1 Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados
* 2 Otras demostraciones
o 2.1 Distancia entre dos puntos de un plano
o 2.2 Ecuación de la circunferencia perimetral
* 3 Circunferencia en el plano de ejes ortogonales
o 3.1 Cálculo del área de un círculo
* 4 Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales
o 4.1 Construcción de una circunferencia
* 5 Véase también

Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados [editar]

El área del círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: A = \frac{p \cdot a}{2}.

Considerando la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro con la longitud, por tanto, el área interior es:

A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2

Otras demostraciones [editar]

Para representar una función que describa una circunferencia, debe definirse una nueva función \mathit{H} \,\!, como la unión de otras dos funciones. De lo contrario, se contradice la definición de función que dice que a cada \mathit{x} \,\! del dominio de una función \mathit{K} \,\!, le corresponde un único \mathit{y} \,\! en el recorrido de \mathit{K} \,\!. Así, podemos definir los puntos pertenecientes a la Circunferencia y calcular su área por medio de integrales.

Para ello, primero daremos una base que muestre cómo se puede construir una ecuación de la circunferencia.

Distancia entre dos puntos de un plano [editar]

Basados en el Teorema de Pitágoras, se puede establecer una relación que describa de manera algebraica la distancia que existe entre dos puntos \mathit{P} \,\! y \mathit{Q} \,\! del plano:

* Sean \mathit{P} \,\! y \mathit{Q} \,\!, dos puntos en el plano, tales que

\mathit{P = (p_1,p_2)} \,\! y

\mathit{Q = (q_1,q_2)} \,\!

Plano, Construcción de la Circunferencia.

con \mathit{p_1} \,\!, \mathit{p_2} \,\!, \mathit{q_1} \,\! y \mathit{q_2} \,\! números reales cualesquiera. (Ver Figura)


* Por el teorema de Pitágoras, tenemos que


\sqrt{|q_2-p_2|^2+|q_1-p_1|^2 } = \sqrt{d^2}


donde d es la distancia entre los dos puntos \mathit{P} \,\! y \mathit{Q} \,\!.

Esta fórmula nos sirve para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano

Ecuación de la circunferencia perimetral [editar]

Por definición, una circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de los puntos \mathit{(x,y)} \,\! que equidistan de un punto \mathit{O = (q_1,q_2)} \,\!, llamado centro de la circunferencia.

Formalizando esto, podemos escribir como conjunto, todos estos puntos:

C = \left\{(x,y) \mid \sqrt{|q_2-p_2|^2+|q_1-p_1|^2} = r = d\right\}

como

\mathit{(x-q_1)^2 > 0} \,\! y además

\mathit{(x-q_2)^2 > 0} \,\! y

\mathit{r=d>0} \,\! (para que no sea un punto),

entonces \mathit{(x-q_1)^2 + (x-q_2)^2 > 0} \,\! y podemos concluir que


C = \left\{(x,y) \mid (x-q_1)^2 + (x-q_2)^2 = r^2\right\}

Esto es para aclarar que al elevar al cuadrado, no se están agregando soluciones a nuestra ecuación.

* Comúnmente se escribe la ecuación de la circunferencia como sigue

\mathit{(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2} \,\!

donde \mathit{O = (h,k)} \,\! es el centro de la circunferencia.

Nótese que esto no es una función, ya que no cumple con los requisitos de ésta.

Hemos definido entonces, el conjunto \mathit{C} \,\! que contiene todos los puntos \mathit{(x,y)} \,\! que describen una circunferencia.

Circunferencia en el plano de ejes ortogonales [editar]

Dijimos anteriormente que nuestra expresión, no podía ser una función. Entonces, podemos crear una nueva función \mathit{H} \,\! que sea la unión del conjunto de puntos de \mathit{f} \,\! y \mathit{g} \,\!, donde \mathit{f} \,\! y \mathit{g} \,\! describen semicircunferencias. Esto es,


* g(x) = \sqrt{r^2 - x^2} ,

* f(x) = -\sqrt{r^2 - x^2}


Se usan estas funciones para calcular el área de de un círculo.

Cálculo del área de un círculo [editar]

Las integrales están directamente relacionadas con el cálculo de áreas de funciones, siendo nuestra herramienta fundamental en el cálculo del área del círculo.

Las funciones \mathit{f} \,\! y \mathit{g} \,\! son monótonas y acotadas en el intervalo \mathit{[-r,r]} \,\!, por lo que cada una es integrable en ese intervalo.

El área comprendida entre \mathit{f} \,\! y \mathit{g} \,\! es el área del círculo, y se calcula como sigue:

A(r) = \int_{-r}^{r} {[g(x)-f(x)]}\, dx \,\!

donde \mathit{A(r)} \,\! es el área del círculo.

Como g(x)-f(x) = 2g(x) \,\!, podemos reescribir lo anterior obteniendo

A(r) = \int_{-r}^{r} {2g(x)}\, dx = 2\int_{-r}^{r} {\sqrt{r^2 - x^2}}\, dx \,\!.


En particular, cuando \mathit{r=1} \,\! se tiene la igualdad

A(1) = 2\int_{-1}^{1} {\sqrt{1 - x^2}}\, dx \,\!.


Cambiando la escala en el eje \mathit{x} \,\! y aplicando el Teorema de dilatación o contracción del intervalo de integración, tenemos, usando \mathit{k = \frac{1}{r}}\,\!, que

A(r) = 2\int_{-r}^{r} {\sqrt{r^2 - x^2}}\, dx = 2r\int_{-1}^{1} {g(rx)} = 2r\int_{-1}^{1} {\sqrt{r^2 - (rx)^2}}\,\!

Luego,

A(r) = 2r^2\int_{-1}^{1} {\sqrt{1 - x^2}}\,\!

Es decir,

A(r) = r^2A(1) \,\!


Se define \pi\,, como el área del círculo unidad. Con esta definición podemos decir que:

A(r) = \pi r^2 \,\!

Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales [editar]
Plano oblicuo, Construcción de la Circunferencia.

Para construir una circunferencia en el plano oblicuo, no se puede usar la misma ecuación que se usa en un plano ortogonal, por lo que es necesario introducir algunos conceptos que nos ayudarán a entender la construcción de tal ecuación. Tales conceptos son los de trigonometría.

Se debe tener presente que en este plano una ecuación de circunferencia se llamará así si se ve como tal. Es por esta razón que se descarta la ecuación anterior, porque en el plano oblicuo no parecerá circunferencia, sino una elipse.

Construcción de una circunferencia [editar]

Usaremos el mismo razonamiento usado anteriormente y nos guiaremos por la figura adjunta. Dijimos que en el plano ortogonal, la ecuación de la circunferencia cumplía con que todos los puntos de la función equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia. En este plano, las distancias siguen siendo las mismas, no es un plano en perspectiva, sólo es un plano inclinado, por lo tanto el Teorema de Pitágoras sigue siendo válido si se aplica de manera correcta.

* Razonamiento

Sean

\mathit{d=} \,\! la distancia entre los puntos \mathit{A} \,\! y \mathit{B} \,\!


\mathit{a=} \,\! la distancia entre los puntos \mathit{C} \,\! y \mathit{B} \,\!, es decir \mathit{a=|y_1-y_2|} \,\!


\mathit{b=} \,\! la distancia entre los puntos \mathit{C} \,\! y \mathit{A} \,\!, es decir, \mathit{b=|x_2-x_1|} \,\!.

Por el Teorema del coseno tenemos que la distancia \mathit{d} \,\! entre los puntos \mathit{A} \,\! y \mathit{B} \,\! viene dada por la siguiente relación


\mathit{d^2=a^2+b^2-2ab\cos {\alpha}} \,\!

\mathit{d^2=|y_1-y_2|^2+ |x_2-x_1|^2 - 2|y_1-y_2||x_2-x_1|\cos {\alpha}} \,\!

luego,

\mathit{d=\sqrt{|y_1-y_2|^2+ |x_2-x_1|^2 - 2|y_1-y_2||x_2-x_1|\cos {\alpha}}} \,\!

Deben destacarse dos cosas en este procedimiento

* Se prescinde del uso del valor absoluto en la raíz. Es un número positivo porque está al cuadrado
* Nótese que si definimos las pendientes negativas para las rectas que intersectan al eje \mathit{x} \,\! con un ángulo mayor que \mathit{\alpha} \,\!, se cumple esta relación. Si el ángulo de intersección con el eje \mathit{x} \,\! es menor, el signo menos que acompaña al \mathit{2} \,\! será positivo. (se puede demostrar)

Conlcluímos entonces que en esta relación no hay pérdida de generalidad.

Con esta relación, podemos encontrar la ecuación de una circunferencia, basándonos en el hecho de que la distancia desde el centro, hasta cualquier parte de la frontera o borde será la misma. Fijaremos un centro con las coordenadas cartesianas \mathit{(h,k)} \,\! (fijo). Así, si \mathit{x} \,\! e \mathit{y} \,\! varían, todo el conjunto de pares \mathit{(x,y)} \,\! para cada \mathit{x} \,\! e \mathit{y} \,\! reales, formarán la frontera de nuestra circunferencia de centro \mathit{(h,k)} \,\!.

Luego, si la distancia constante del centro a la cirunferencia la llamamos \mathit{r} \,\!, podemos decir que \mathit{r} \,\! será nuestro radio de circunferencia. Entonces,


\mathit{r^2=|x-h|^2+ |y-k|^2 - 2|x-h||y-k|\cos {\alpha}} \,\!

\mathit{r^2=(x-h)^2+ (y-k)^2 - 2|x-h||y-k|\cos {\alpha}} \,\!

será la ecuación de la circunferencia en un plano con un ángulo de inclinación \mathit{\alpha} \,\!.


Un caso particular de esta ecuación es cuando \mathit{\alpha=\frac{\pi}{2}} \,\!. En este caso volvemos al plano ortogonal y la ecuación de la circunferencia es la misma que habíamos demostrado. Se puede decir entonces, que la ecuación de la circunferenca en el plano ortogonal es un caso particular de éste.

El área es la misma en este caso, ya que el área sólo está en función del radio y no del ángulo de inclinación del plano al que pertenece.

Véase también [editar]

* Función
* Cálculo
* Integrales
* Conjuntos
* Trigonometría